List

Νικόλαος Πάτας
Τμήμα Μαθηματικών, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Email: [email protected]

Περίληψη Στο άρθρο γίνεται μια απόπειρα διασύνδεσης του όρου qualia, με την ύπαρξη τους ή μη, κατά την διάρκεια δόμησης μια τυπικής ευκλείδειας γεωμετρικής απόδειξης. Πιο περιληπτικά, παρουσιάζεται μια επιτομή των θέσεων σχετικά με το τι είναι qualia. Στη συνέχεια γίνεται μια θεωρητική προσέγγιση γύρω από την επιρροή του θυμικού κατά την ευκλείδεια γεωμετρική απόδειξη, διαχωρίζοντας τις πέντε αισθήσεις από την αισθητικότητα του νου και τονίζοντας πως όλες οι θυμικές διαδικασίες είναι συνειδητές και έλλογες. Παρουσιάζεται μια ενδεικτική προσέγγιση του φιλοσοφικού ρεύματος της φαινομενολογίας σχετικά με την ευκλείδεια γεωμετρική απόδειξη και τον βασικό όρο της εποπτείας. Τέλος γίνεται μια απόπειρα συσχετισμού της ύπαρξης των qualia μέσα από συγκεκριμένες βιωματικές και συνειδητές διαδικασίες του θυμικού που είναι ικανές να οδηγήσουν σε ευκλείδεια γεωμετρική απόδειξη. Κεντρικό ερώτημα του άρθρου είναι αν μπορεί να στοιχειοθετηθεί η ύπαρξη των qualia κατά την διάρκεια δόμησης τυπικής ευκλείδειας γεωμετρικής απόδειξης.
Λέξεις κλειδιά Qualiα ∙ Ευκλείδεια Γεωμετρική Απόδειξη ∙ Θυμικό ∙ Διαίσθηση ∙ Εποπτεία

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Η ύπαρξη και η φύση των qualia αποτέλεσε και αποτελεί ένα από τα κομβικά σημεία συζήτησης αλλά και αντιπαράθεσης μεταξύ των επιστημόνων και των φιλοσόφων. Θα μπορούσε λοιπόν να θεωρήσει κανείς πως ένα τέτοιο θέμα, θα έχει απασχολήσει και την μαθηματική κοινότητα, τόσο σε φιλοσοφικό μαθηματικό πλαίσιο, όσο και στο πλαίσιο της διδακτικής των μαθηματικών. Γεγονός είναι, πως η έντονη αμφισβήτηση για την ύπαρξη τους, καθώς και η μη σύνδεση τους βιβλιογραφικά με την διδακτική των μαθηματικών, οδηγεί σε φτωχή αρθρογραφία, σχετικά με την ύπαρξη των qualia κατά την σύνταξη μιας ευκλείδειας γεωμετρικής απόδειξης.
Από την άλλη μεριά, σημεία διένεξης, που έχουν οδηγήσει σε έντονη αρθρογραφία φιλοσοφικού αλλά και γνωσιακού χαρακτήρα, είναι η ύπαρξη ή μη των qualia, η χρησιμότητα τους ως λέξη ή ως ιδέα, αν έχουν ενδιαφέρουσες επιστημολογικές ιδιότητες, όπως την ιδιότητα του αδιάψευστου, αν μπορούν να έχουν αναρίθμητες εκδοχές, αν οι υπολογιστές μπορούν να έχουν qualia σε επίπεδο τεχνητής νοημοσύνης, αν αψηφούν την φυσική εξήγηση ή περιγραφή των πραγμάτων.
Στο άρθρο γίνεται μια απόπειρα ελέγχου της ύπαρξης των qualia κατά την σύνταξη μιας τυπικής ευκλείδειας γεωμετρικής απόδειξης. Το βασικό ερώτημα, λοιπόν, αυτού του άρθρου είναι: Υπάρχουν τα qualia στην ευκλείδεια γεωμετρική απόδειξη; Η προσπάθεια αυτή δεν έχει ως στόχο να δώσει ένα θεωρητικό πλαίσιο, με απόψεις από την διδακτική των μαθηματικών και από ρεύματα της φιλοσοφίας που να αναδεικνύει τα ενδεχόμενα παρουσίας τους σε αυτήν.
Αφορμή, για την γέννηση του πιο πάνω ερωτήματος, αν δηλαδή τα qualia υπάρχουν κατά την διαδικασία της ευκλείδειας γεωμετρικής απόδειξης, υπήρξε το άρθρο των Kidron, Dreyfus (2014) σχετικά με την αποδεικτική εικόνα.
Ο ορισμός της αποδεικτικής εικόνας, συνδυάζει την γνωσιακή με την συναισθηματική κατανόηση, του γιατί ένας ισχυρισμός είναι αληθινός. Αυτή η αλληλεπίδραση μεταξύ της ενστικτώδους αντίληψης ότι ένας ισχυρισμός είναι αληθινός και της γνωσιακής αντίληψης μέσα από προσωπική, δυναμική, και ολοκληρωτική κατασκευή λογικών συνδέσεων (Kidron et al., 2014), αποτέλεσε την βάση του ερωτήματος του συγκεκριμένου άρθρου. Πιο συγκεκριμένα, κατά την απόπειρα ευκλείδειας γεωμετρικής απόδειξης, η στιγμιαία, ξαφνική διαισθητική αντίληψη ή εμπειρία, πως ένας συλλογισμός είναι ορθός και ικανός να οδηγήσει σε τυπική απόδειξη, μήπως αποτελεί μια μορφή qualia ή στοιχειοθετεί την παρουσία τους;
Σημείο ενίσχυσης του ερωτήματος, ήταν και είναι η προσωπική ανησυχία, για το πώς σχετίζεται η άποψη του Αριστοτέλη σχετικά με την ενόραση, στην διαδικασία της επίλυσης ενός προβλήματος.
Στο βιβλίο «Γλώσσα, Ιστορία και Ευκλείδεια Γεωμετρία», και πιο συγκεκριμένα στην εισαγωγή, οι Θωμαϊδης, Πετράκης, Τουλουμής , Σταφυλίδου (2006) αναφέρουν:
Την πρώτη απόπειρα μελέτης της επίλυσης προβλημάτων επιχείρησε ο Αριστοτέλης στα Τοπικά (Τοπικά 14. 101b 11-18). Εκεί, καθώς και στα Αναλυτικά Πρότερα και τα Αναλυτικά Ύστερα, συνδέει την επίλυση προβλήματος με το ζήτημα της εκφοράς του λόγου και της απόκτησης γνώσης μέσω του ορισμού, της επαγωγής, της απόδειξης, και της αναλογίας. Κατά τον Αριστοτέλη […], οι συλλογισμοί στρέφονται γενικά γύρω από «προβλήματα» (δηλ. ερωτήματα αν κάτι ισχύει ή δεν ισχύει).[…]. Πρόκειται για μια λογική νοητική διεργασία, η οποία είναι αναλυτική και συνθετική. Σε αυτή παρεμβαίνει η διαίσθηση, κυρίως όμως η ενόραση, η ικανότητα του ανθρώπου να προβαίνει βαθμιαία σε μια γενικευμένη αντίληψη των όντων, να συλλαμβάνει βασικές έννοιες και γενικές αρχές και να επάγεται από την αντίληψη των φυσικών χαρακτηριστικών της ύλης στην κατανόηση γνωρισμάτων της μορφής ή του είδους (βλ. Γουδήρας, 2004).
‘Έχουμε λοιπόν, ένα κοινό ερώτημα τόσο στο άρθρο των Kidron et al. (2014), όσο και στον Αριστοτέλη, σχετικά με το αν ένας ισχυρισμός ισχύει ή δεν ισχύει. ΄Εχουμε την παρέμβαση της διαίσθησης, ενόρασης τόσο στον Αριστοτέλη, όσο και στην αποδεικτική εικόνα των Kidron et al. (2014), και βέβαια στον Αριστοτέλη υπάρχει η κατανόηση των γνωρισμάτων της μορφής ή του είδους, όπως υπάρχει η αφαιρετική διαδικασία μέσω λογικών συνδέσεων στην αποδεικτική εικόνα.
‘Άραγε η ύπαρξη των qualia στοιχειοθετείτε μέσα από την εμπειρία της διαίσθησης, ενόρασης του Αριστοτέλη κατά την επίλυση ενός προβλήματος; Υπάρχουν εκείνες οι έντονες στιγμές εμπειρίας κατά την απόδειξη ενός ισχυρισμού, στην Αριστοτελική Λογική, που θα αποτελούσαν μια μορφή qualia; Θα αποδώσουμε στην συνέχεια το θεωρητικό υπόβαθρο αυτού του άρθρου, στην προσπάθεια να πλαισιώσουμε το ερώτημα, αφορμές του οποίου ήταν όσα αναφέρθηκαν παραπάνω. Κατά την προσπάθεια δόμησης γεωμετρικής απόδειξης, μπορούμε να μιλήσουμε για ύπαρξη των qualiα; Πριν όμως αναπτύξουμε την θεωρητική προσέγγιση σχετικά με το θυμικό και την ευκλείδεια γεωμετρική απόδειξη, θα αναπτύξουμε στο πλαίσιο του δυνατού, το τι είναι qualia.

2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ
2.1. Tι είναι τα qualia

Για να δοθεί, όσο πληρέστερη προσέγγιση στο παραπάνω ερώτημα, είναι ξεκάθαρο πως πρέπει να αποδώσουμε έναν ορισμό σχετικά με το τι είναι qualia. Θα γίνει μια απόπειρα διευρυμένης προσέγγισης του όρου, αφού η ίδια η βιβλιογραφία υποδεικνύει κάτι τέτοιο. Βέβαια, από τις επιμέρους προσεγγίσεις του όρου qualia, θα επισημάνουμε εκείνες οι οποίες θα μπορούσαν να σχετίζονται με την ευκλείδεια γεωμετρική απόδειξη.
Qualia , λοιπόν, ως ο πληθυντικός της λέξης quale, είναι ένας φιλοσοφικός όρος που αναφέρεται στην μεμονωμένη, βιωματική και υποκειμενική αλλά απόλυτα συνειδητή εμπειρία. Η αίσθηση κάποιων ιδιοτήτων, όπως η “ερυθρότητα” του κόκκινου , η “ζεστασιά” τoυ θερμού , η “γεύση” του κρασιού, οτιδήποτε θα μπορούσε να ερμηνευθεί από τον ανθρώπινο νου, μέσω των αισθήσεων συνειδητά και με υποκειμενική, βιωματική προσέγγιση. Σε αυτό το σημείο, θα τονίσουμε πως ετυμολογικά η λέξη, προέρχεται από την λατινική λέξη qualis που σημαίνει “τι είδος», σε αγγλική μετάφραση “what sort” ή “what kind”. Αξιοσημείωτο, είναι πώς μέσα στην έννοια των qualia “κρύβεται” ετυμολογικά, μια παρόμοια αίσθηση αναζήτησης μέσω της ερώτησης “what sort”, που θα μπορούσε να είναι προπομπός της ενδόμυχης προσπάθειας όσων θέλουν να αποδείξουν γιατί ένας ισχυρισμός είναι αληθινός, ή της βασικής Αριστοτελικής ερώτησης “τι είναι”, όπως αυτή προκύπτει από την γνωστή Θεωρία Κατηγοριών. Εξ ορισμού, βέβαια φαίνεται αδύνατο να καταλάβει κανείς τι είναι qualia, χωρίς την άμεση υποκειμενική εμπειρία τους, και ως εκ τούτου, πολλές είναι οι περιπτώσεις εκείνων που δεν μπορούν να επικοινωνήσουν αυτή τους την εμπειρία σε τρίτους.

Ένας ενδεικτικός ορισμός σχετικά με τον όρο qualia, ήρθε από τoν Clarence Irving Lewis (1990). Εκεί, έχοντας μια πλατωνιστική προσέγγιση, ενδεικτικά αναφέρει στο πρωτότυπο, αφού σίγουρα στην μετάφραση θα χαθεί η ουσία της πρώτης προσέγγισης των qualia:

There are recognizable qualitative characters of the given, which may be repeated in different experiences, and are thus a sort of universals; I call these “qualia.” But although such qualia are universals, in the sense of being recognized from one to another experience, they must be distinguished from the properties of objects. Confusion of these two is characteristic of many historical conceptions, as well as of current essence-theories. The quale is directly intuited, given, and is not the subject of any possible error because it is purely subjective.

O Daniel Dennett (1988) δεν δίνει έναν σαφή όρο γύρω από τον όρο qualia, αλλά ουσιαστικά απαριθμεί τις τέσσερις συνηθέστερες ιδιότητες που αποδίδονται σε αυτά:

Ineffable, μια ιδιότητα που δηλώνει πως τα qualia δεν μπορούν να γίνουν αντιληπτά, παρά μόνο μέσα από την εμπειρία, intrincic, ιδιότητα που δηλώνει πως υπάρχουν μη σχεσιακές ιδιότητες, οι οποίες δεν αλλάζουν βάσει της σχεσιακής εμπειρίας με άλλα αντικείμενα ή καταστάσεις, private, με την έννοια πως ένα qualia δεν μπορεί να μοιάζει με κανένα άλλο και τέλος a directly or immediately apprehensible in conciousness, που δηλώνει πως αυτός που βιώνει qualia ξέρει ότι βιώνει qualia και οτιδήποτε σχετίζεται με αυτά.

O Michael Tye (2013), αναφέρει εκτενώς διάφορες χρήσεις του όρου qualia, τις οποίες θα απαριθμήσουμε ώστε να επιλέξουμε τελικά εκείνες τις μορφές τους, που θα μπορούσαν να συσχετιστούν με την δόμηση ευκλείδειας γεωμετρικής απόδειξης.

Τα qualia ως phenomenal characters. Εάν εστιάσουμε την προσοχή μας σε ένα phenomenal character της εμπειρίας μας , θα διαπιστώσουμε ότι με αυτόν τον τρόπο είμαστε ενήμεροι για ορισμένες ιδιότητες. Αυτές οι ιδιότητες, που είναι προσιτές σε μας όταν παρατηρούμε τον εαυτό μας, και που συνθέτουν τον χαρακτήρα της εμπειρίας, μερικές φορές ονομάζονται qualia.

Τα qualia ως ιδιότητες των δεδομένων που προκύπτουν από τις πέντε αισθήσεις. Πρόκειται για μια ερμηνεία των qualia, όπως αυτή έχει προκύψει από τον o Lewis (1990), που είδαμε κα νωρίτερα, και που ουσιαστικά δηλώνει πως qualia είναι μια ιδιότητα, καθολική, που προκύπτει μέσω των αισθήσεων, και που όμως την αντιλαμβανόμαστε συνειδητά.

Τα qualia ως εγγενείς, μη αντιπροσωπευτικές ιδιότητες, που αναλύονται ως αισθητικές εμπειρίες, που όμως αναλύονται για το αν προκύπτουν μέσα από σχεσιακή συμμετοχή με τα αισθητά αντικείμενα, ή νευρωνική ταυτοποίηση με γεγονότα. Πρόκειται για μορφή qualia που ουσιαστικά μοιάζει με τις δύο προηγούμενες, αλλά αναλύεται πιο διεξοδικά, ό τρόπος με τον οποίο παρουσιάζονται.

Τα qualia ως παρουσία, μέσα από αντιληπτικές εμπειρίες, όπως η αντίληψη ενός χρώματος, σωματικές εμπειρίες, όπως αίσθηση της εμπειρίας του πόνου, συναισθηματικές εμπειρίες, όπως η χαρά μιας επιτυχίας, ψυχολογικές εμπειρίες, όπως το να νιώθεις λύπη για κάτι. Σε αυτό το σημείο, ιδιαίτερα σημαντική είναι η συμβολή του Strawson (1994), που δηλώνει πως η εμπειρία της κατανόησης μιας πρότασης, ή η εμπειρία της ξαφνικής σκέψης ή της ξαφνικής μνήμης γύρω από κάτι, συνιστά την ύπαρξη των qualia.

Συμπερασματικά, βασιζόμενοι στα παραπάνω, έχουμε ένα πρώτο εννοιακό πλαίσιο του φιλοσοφικού όρου qualia. Χαρακτηριστικά στοιχεία που πρέπει να τονιστούν είναι η ύπαρξη τους, έπειτα από εμπειρικά δεδομένα ή δεδομένα των πέντε αισθήσεων, που πυροδοτείτε είτε μέσα από σωματικές, είτε ψυχολογικές, είτε συναισθηματικές, είτε νοητικές διαδικασίες. Κατά δεύτερον, η ύπαρξη τους δεν μπορεί να είναι μετρήσιμη, αφού πρόκειται για εντελώς υποκειμενική διαδικασία, που όμως είναι απόλυτα συνειδητή και αντικειμενική ως προς την αντίληψη μιας ιδιότητας ή έννοιας ή αντικειμένου ή συναισθήματος, όχι όμως αντικειμενική ως προς την ερμηνεία της. Παράδειγμα μέσα από μια σωματική διαδικασία, είναι πώς η εμπειρία του πονοκέφαλου, είναι δηλωτική ως προς τον πόνο, βιώνεται από όλους και ερμηνεύεται αντικειμενικά ως πόνος, ερμηνεύεται όμως υποκειμενικά η ένταση του ή το συναίσθημα που προκαλεί.

Επομένως, κατά την ευκλείδεια γεωμετρική απόδειξη, σχετικά με το πώς θα μπορούσε κάποιος να οδηγηθεί σε αυτή, θα μπορούσαμε να αναπτύξουμε την θεώρηση, πως μέσω των γεωμετρικών σχημάτων, σε καθαρά νοητικό επίπεδο, στην αφετηρία ενός συλλογισμού, μέσω της όρασης ως αίσθηση, αλλά και μέσω μιας γλωσσολογικής προσέγγισης, κάποιων δεδομένων του γεωμετρικού προβλήματος, φαίνεται να στοιχειοθετείται η ύπαρξη των qualia. Έχουμε δηλαδή, την ύπαρξη δύο πηγών (εκφώνηση του προβλήματος, γεωμετρικό σχήμα), έχουμε τουλάχιστον δύο αισθήσεις που συμμετέχουν (όραση, ακοή) και σίγουρα αυτός ο συνδυασμός πυροδοτεί νοητική λειτουργία, σχετικά με μια ή περισσότερες ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων που συμμετέχουν στο πρόβλημα, που είναι αντικειμενικές ή πλατωνιστικά καθολικές, που προκύπτουν από συνειδητή επεξεργασία, και που όμως ερμηνεύονται υποκειμενικά, χωρίς να σημαίνει πως ερμηνεύονται λανθασμένα. Έτσι διαφαίνεται η αίσθηση παρουσίας των qualia στην ευκλείδεια γεωμετρική απόδειξη, τουλάχιστον όπως την αντιλαμβανόμαστε μέσα από το ευρύτερο πλαίσιο του ορισμού τους, μέσα από ένα συνδυασμό σωματικού και νοητικού πλαισίου, αφού phenomenal characters (γεωμετρικά σχήματα), μας δίνουν ιδιότητες που πλέον είμαστε ενήμεροι για αυτές, έχοντας στρέψει την προσοχή μας, στο ότι τις αντιλαμβανόμαστε.

Όμως, μιας και τα qualia δεν είναι μετρήσιμα, όπως τουλάχιστον αναφέρεται μέχρι τώρα, είναι σαφές πως δεν μπορούμε να παγιώσουμε την ύπαρξη τους, μόνο μέσω του ευρύτερου φιλοσοφικού ορισμού τους. Για αυτό θα γίνει μια απόπειρα, ενίσχυσης του επιχειρήματος και ουσιαστικά μιας απάντησης στο βασικό ερώτημα του άρθρου, μέσα από την ανάπτυξη απόψεων που έχουν σχέση με το θυμικό και την απόδειξη.

2.2. Θυμικό και Ευκλείδεια Γεωμετρική Απόδειξη

Συνδέοντας με θεωρητικό τρόπο την ύπαρξη των qualia κατά την δόμηση ευκελείδειας γεωμετρικής απόδειξης, είναι σαφές, από τα παραπάνω, πως η ύπαρξη τους, σχετίζεται άμεσα με το σημείο εκείνο της συλλογιστικής διαδικασίας, που εμπεριέχει στοιχεία διαίσθησης. Γενικότερα, θα μπορούσαμε να αναφερθούμε στην έννοια της διαίσθησης, με μια ευρύτερη έννοια, την έννοια του θυμικού, ώστε να αποφευχθούν τυχόν γλωσσολογικές παρανοήσεις.
Κατά στην διδασκαλία στους μαθητές του γυμνασίου και του λυκείου είναι πολλοί που υποστηρίζουν πως πρέπει να δοθεί έμφαση στην διαισθητική ενόραση πολύ περισσότερο και πολύ νωρίτερα από τον παραγωγικό συλλογισμό. Ουσιαστικά, η άποψη αυτή, δηλώνει πως η διαίσθηση, ενισχυμένη από πειραματισμό, προηγείται του παραγωγικού συλλογισμού.
Σε αυτό το σημείο αξίζει να επισημάνουμε, πως η παραπάνω άποψη, έχει στοιχεία της Αριστοτελικής παραγωγικής συλλογιστικής. Πριν όμως αναπτύξουμε, κάποιες πτυχές της, θα επιχειρήσουμε να δώσουμε έναν ορισμό της λέξης θυμικό, για να τονίσουμε, πως μέσα από την γλωσσολογική προσέγγιση του όρου, μπορούμε να τονίσουμε, επί της αρχής, πως μπορεί να συνδεθεί το θυμικό στην δόμηση μιας ευκλείδειας γεωμετρικής απόδειξης.
Θυμικό είναι εκείνη η σφαίρα της ψυχής που περικλείει το συναίσθημα και την βούληση. Η βούληση αποτελεί την έλλογη εκείνη δύναμη, η οποία προέρχεται από την δραστηριότητα του πρακτικού νου. Διαφαίνεται ,λοιπόν, μέσα από τον ορισμό του θυμικού, μια ταυτόχρονη διττή παρουσία διαίσθησης και ενσυνείδητης διαμόρφωσης της μέσω της βούλησης.
Ο Νικόλαος Κ. Αγγγελής (2008) στην εργασία του «Η Θεωρία της Γνώσης κατά τον Αριστοτέλη» αναφέρεται στις δύο πηγές της γνώσης την αισθητικότητα και τον νου:
[..]. Η γνώση προκύπτει από την δυναμική σχέση αλληλενέργειας, η οποία αναπτύσσεται ανάμεσα στα αντικείμενα του εξωτερικού κόσμου και τις δύο γνωστικές δυνάμεις της ανθρώπινης ψυχής, την αισθητικότητα και τον νου ή λόγο. [..]. Συνεπώς, η γνώση στο σύνολό της θα μπορούσε να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της ενεργοποίησης των δύο γνωστικών δυνάμεων της ψυχής, της αισθητικότητας και του νου, ενεργοποίηση η οποία προκαλείται από την επίδραση κυρίως των αντικειμένων του εξωτερικού κόσμου πάνω στις δύο γνωστικές δυνάμεις της ψυχής ή συνείδησης.
Και συνεχίζει την ανάλυση του, λέγοντας:
Οι αισθητές εικόνες, άϋλες στην ουσία τους και αντικαθιστώντας τα αισθητά αντικείμενα, μεταφέρουν πληροφορίες στο εσωτερικό της συνείδησης. Θα λέγαμε, λοιπόν, ότι οι αισθητές εικόνες είναι φορείς πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές είναι δύο ειδών. Κατ’ αρχήν, με τις πέντε αισθήσεις βλέπουμε, ακούμε, αγγίζομε, γευόμαστε και οσφραινόμαστε. Οι αισθητές εικόνες της όρασης, της ακοής και των άλλων αισθήσεων μας πληροφορούν πρώτ’ απ’ όλα για την ύπαρξη των αντικειμένων. […]. Εκτός, όμως, από την ύπαρξη του αντικειμένου, οι αισθήσεις μας πληροφορούν και για ένα σύνολο από ιδιότητες, όπως το χρώμα, τον ήχο την σκληρότητα, και ούτω καθεξής. Γνωρίζουμε αν το αντικείμενο είναι λευκό ή μαύρο, σκληρό ή μαλακό, γλυκό ή πικρό και ούτω καθεξής. Ταυτόχρονα, η επαφή με τ’ αντικείμενα μας προξενεί ευχάριστα αισθήματα χαράς ή δυσάρεστα αισθήματα λύπης. Η αισθητικότητα, λοιπόν, εκτός από τις εικόνες φορείς πληροφοριών, προκαλεί και εικόνες, που είναι φορείς αισθημάτων χαράς ή λύπης. Και στις δύο περιπτώσεις, η γνώση συντελείται διαμέσου των αισθητών εικόνων, που παράγονται από τις αισθήσεις.
Βασιζόμενοι στην παραπάνω ανάλυση, θα μπορούσαμε να συντάξουμε μια αντιστοιχία εννοιών. Θα μπορούσαμε να κάνουμε την παραδοχή, πως στην γεωμετρία, οι άϋλες αισθητές εικόνες, είναι τα κάθε είδους γεωμετρικά σχήματα, έτσι όπως τα αντιλαμβανόμαστε εποπτικά, σχήματα τα οποία αντικαθιστούν τα αισθητά αντικείμενα, και που φυσικά μεταφέρουν πληροφορίες στο εσωτερικό της συνείδησης. Αυτές οι εικόνες, φορείς των ιδιοτήτων των αντικειμένων του εξωτερικού κόσμου, είναι ικανές, να οδηγήσουν τον νου, στην κατασκευή παραγωγικών συλλογισμών και επομένως γεωμετρικής απόδειξης. Μήπως αυτές οι εικόνες, ως φορείς ιδιοτήτων είναι ικανές να παράγουν qualia; Και φυσικά, οι εικόνες παράγουν qualia ή τα qualia παράγουν εικόνες; Ποια είναι άραγε τα qualia που εμπλέκονται στην παραγωγή γεωμετρικής απόδειξης; Μήπως οι εικόνες ως πληροφορίες ιδιοτήτων προερχόμενες από την αισθητικότητα παράγουν άλλα qualia από εικόνες προερχόμενες από τις πέντε αισθήσεις που έχουν να κάνουν με συναισθήματα χαράς, ή λύπης;
Κάνοντας λοιπόν μια γρήγορη, ανασκόπηση παρατηρούμε πως η έννοια της αισθητικότητας παρουσιάζετε στα πρωταρχικά στάδια, μιας συλλογιστικής διαδικασίας, η οποία ενδεχομένως να εξελιχθεί παραγωγικά και να οδηγήσει σε μια τυπική γεωμετρική απόδειξη και ουσιαστικά σε κατασκευή νέα γνώσης. Βασικό στοιχείο, η ενσυνείδητη προσέγγιση των ιδιοτήτων, όπως αυτές προσλαμβάνονται μέσα από μια διαισθητική ενόραση.
Αντίστοιχα, οι Tall D., Yevdokimov O., Koichu B., Whiteley W., Kondratieva M. & Cheng Y. H. (2012), μιλάνε για την δόμηση της απόδειξης μέσα από τον μακροπρόθεσμο σχηματισμό κρυσταλλικών εννοιών που ωριμάζουν μέσα από την κατασκευή
της ολοένα και πιο εξελιγμένης δομής γνώσης. Η δομή αυτή έχει τα εξής στάδια:

-Αντιληπτική αναγνώριση των φαινομένων, όπου τα αντικείμενα έχουν ταυτόχρονες ιδιότητες.
-Λεκτική περιγραφή των ιδιοτήτων, που συχνά συνδέονται με οπτικές ή συμβολικές παραστάσεις, ως αφετηρία προσδιορισμού ιδιοτήτων και σχέσεων.
-Ορισμός και Αφαίρεση, προς καθορισμό εννοιών που ανταποκρίνονται στον ορισμό ώστε να αναπτυχθούν κατάλληλες αρχές απόδειξης, και να συμπεράνουμε ότι μια ιδιότητα συνεπάγεται μια άλλη.
Συνειδητοποίηση, ότι ορισμένες ιδιότητες είναι ισοδύναμες, έτσι ώστε η έννοια έχει πλέον συγκεκριμένη δομή που σχετίζεται με παραγωγική απόδειξη.
-Συνειδητοποίηση πως οι ιδιότητες αυτές είναι διαφορετικοί τρόποι έκφρασης μιας υποκείμενης κρυστάλλινης έννοιας, και συνδέονται μεταξύ τους με παραγωγική απόδειξη.

Και στο θεωρητικό πλαίσιο των Tall et al. (2012), βεβαιώνεται πως η κατασκευή παραγωγικής απόδειξης, σχετίζεται με την αλληλεπίδραση μεταξύ των πιο πάνω έξι σταδίων, όπου όμως στα πρωταρχικά βήματα, επισημαίνεται η ανάγκη , αναγνώρισης φαινομένων αντιληπτικά, καθώς και η λεκτική περιγραφή των ιδιοτήτων που έχουν συχνά ως αφετηρία οπτικές αναπαραστάσεις. Η αντίληψη των φαινομένων και των ιδιοτήτων τους, εμπεριέχει στοιχεία διαίσθησης, ενστίκτου, αισθητικότητας, αφού οι αντιληπτικές και γλωσσολογικές δομές πυροδοτούν ενδεχομένως εικόνες και συναισθήματα, που αποτελούν αφετηρία παραγωγικού συλλογισμού. Κάτι τέτοιο, είναι σαφές πως συντελείτε σε μια γεωμετρική απόδειξη, αφού ο ρόλος της εποπτείας είναι πρωταρχικός. Επομένως τα qualia, μπορούν να συνδεθούν με τα δύο πρώτα στάδια των κρυστάλλινων επιπέδων, την λεκτική περιγραφή ιδιοτήτων, καθώς και με την αντιληπτική αναγνώριση φαινομένων ;

Συνεχίζοντας, την θεωρητική προσέγγιση, υπάρχει η άποψη τοu Longo(2012), ο οποίος στο άρθρο του Theorems as Constructive Visions, αναφέρεται με πολύ ιδιαίτερο τρόπο στο θέμα της διαίσθησης σχετικά με το πώς αυτή συνδέεται και λειτουργεί με την δόμηση της ευκλείδειας γεωμετρικής απόδειξη. Ο τίτλος και μόνο του άρθρου του, καταδεικνύει εμφανώς, την άποψη του σχετικά με τη εμπλοκή των αισθήσεων ώστε να οδηγηθούμε σε κατασκευή θεωρημάτων μέσα από κατασκευαστικές οπτικές. Χαρακτηριστικά, και πάλι στο πρωτότυπο, ώστε να μην χαθεί η ουσία των λεγομένων του δηλώνει:

A pure intuition […] is the seeing of a mental construction; it is the appreciation of an active experience, of an active (re-) construction of the world. We can intuit, because we actively construct (mathematical) knowledge on the phenomenal screen between us and the world.

Αυτό το οποίο εδώ είναι έντονα δηλωτικό για το που μπορούμε να έχουμε qualia είναι ακριβώς το σημείο της ενεργής εμπειρίας, η οποία οδηγεί στην κατασκευή του μαθηματικού κόσμου. Θυμίζει λίγο την κατασκευή της νέας γνώσης των Kidron et al. (2014). Είναι η εμπειρία μέσω των αισθήσεων, που όμως ενεργά συνειδητά, δημιουργεί εικόνες μέσω της αισθητικότητας που ανέφερε ο Αγγελής (2008), που γεμίζουν με ιδιότητες το νου, και που θα μπορούσαν να χαρακτηριστούν ως qualia, πιθανές αφετηρίες παραγωγικού συλλογισμού.

Συνεχίζοντας, θα σταθούμε ίσως στην πιο έντονη σχέση που μπορεί να έχουν τα qualia με μια τυπική ευκλείδεια γεωμετρική απόδειξη, αφού η αναφορά του AHA effect, της γνωστής αντίδρασης κατά την προσπάθεια μιας απόδειξης, δείχνει να σχετίζεται με αυτό που αναφέρει ο Strawson (1994). O Liljedahl (2005), αναφέρει πως η AHA εμπειρία, η στιγμή της ανεξήγητης, ακαριαίας διαφώτισης ή “επιφοίτησης”, είναι μια στιγμή, που έχει εξεταστεί ως τώρα σαν γεγονός που λαμβάνει χώρα, μόνο σε επίπεδο expert μαθηματικών. Κάτι τέτοιο βέβαια, επιχειρεί να το εμπλουτίσει μέσα από την έρευνα που κάνει σε μαθητές για το κατά πόσο υπαρκτή είναι αυτή η AHA εμπειρία και σε αυτούς, και για την οποία δηλώνει το πόσο θετικό είναι το συναίσθημα που ακολουθεί τον μαθητή όταν την βιώνει και που τον ανατροφοδοτεί, ώστε να συνεχίσει με επιμονή την προσπάθεια του για δόμηση τυπικής απόδειξης. Επομένως, μήπως έχουμε μια περίπτωση εμφάνισης συναισθηματικού qualia , που προκύπτει από την ξαφνική μνήμη ή την ξαφνική κατανόηση μιας μαθηματικής πρότασης; Αν αποδεχτούμε την φιλοσοφική απόδοση του όρου από τον Strawson (1994), που δηλώνει πως το πνευματικό σημείο της ξαφνικής κατανόησης μας πρότασης ή της ξαφνικής μνήμης ενός δεδομένου, είναι αφορμή για την ύπαρξη qualia, τότε το AHA effect, ίσως ακαριαία συνοδεύεται από qualia,ή και το ίδιο θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως qualia, αφού προκύπτει ως έντονη, συνειδητή, συναισθηματική και υποκειμενική εμπειρία.

Οι Kidron et al. (2014), αναφέρονται εκτενώς στο άρθρο τους, στην ιδιαίτερη στιγμή του Van Der Waarden, την οποία και περιγράφει ο ίδιος σε ένα μικρό σημειωματάριο, το λεγόμενο Einfall, την στιγμή δηλαδή, που κατά την διάρκεια μια απόδειξης, αντιλαμβανόταν κάτι στιγμιαία, έχοντας έντονη αίσθηση πως είναι σωστό, χωρίς να υπάρχει τυπική εξήγηση, που όμως ως ισχυρό συναίσθημα βεβαιότητας αληθείας, τον οδηγούσε στην προσπάθεια δόμησης τυπικής απόδειξης. Μήπως για μια ακόμη φορά έχουμε την ύπαρξη των qualia στα πρωταρχικά στάδια μιας απόδειξης, ίσως λίγο πριν ή λίγο μετά από το βασικό ερώτημα που οδηγεί σε μια απόδειξη “γιατί ένας ισχυρισμός είναι αληθινός;”

2.3. Qualia και Φαινομενολογία

Αναπτύξαμε στις δύο προηγούμενες ενότητες, τόσο την ερμηνεία του φιλοσοφικού όρου qualia, όσο και διάφορες απόψεις σχετικά με την συμμετοχή του θυμικού, στην δόμηση μια τυπικής απόδειξης, σε μια προσπάθεια να αναδείξουμε μια άποψη, σχετικά με το βασικό ερώτημα του άρθρου, αν δηλαδή, μπορεί να στοιχειοθετηθεί η ύπαρξη των qualia κατά την διάρκεια μιας ευκλείδειας γεωμετρικής απόδειξης;

Στην προσπάθεια αυτή, θα χρησιμοποιήσουμε κάποιες απόψεις από το φιλοσοφικό ρεύμα της φαινομενολογίας, που δείχνουν να συμβαδίζουν, τουλάχιστον σε μια πρώτη ανάγνωση με την ύπαρξη των qualia σε διάφορες στιγμές της δόμησης ευκλείδειας γεωμετρικής απόδειξης.

Βασιζόμενοι στον Jaakko Hintikka (2003) και στην προσέγγιση του στο “Η φύση της εποπτείας στον Husserl», καταλαβαίνουμε πως η έννοια της εποπτείας, είναι μια έννοια που αντιμετωπίστηκε από διάφορους φιλόσοφους με διαφορετικούς τρόπους και ερμηνείες. Ακόμα και ο ίδιος ο Husserl, ο πατέρας της φαινομενολογίας, αποδεικνύεται μέσα από την μελέτη του έργου του, πως είχε πρώιμες και μεταγενέστερες προσεγγίσεις στο τι είναι εποπτεία.

Βέβαια, το να αναλύσουμε σε βάθος όλο το φάσμα των απόψεων γύρω από την εποπτεία στην φαινομενολογία του Husserl, θα ήταν ανούσιο, αφού σκοπός μας είναι να συνδέσουμε την εποπτεία με την ύπαρξη των qualia στην ευκλείδεια γεωμετρική απόδειξη.

Ο Hintikka (2003), λοιπόν αναφέρει, πως σύμφωνα με τον με τον Αριστοτέλη μπορώ να επιτύχω γνώση για αντικείμενα είτε πραγματώνοντας τις μορφές τους στην ψυχή μου, είτε εξετάζοντας τις πραγματώσεις αυτών των μορφών. Φυσικά το είδος γνώσης που επιτυγχάνεται με αυτόν τον τρόπο είναι για την πραγματικότητα, δηλαδή για τις πραγματικές μορφές. Ουσιαστικά η Αριστοτελική γνώση παράγεται από την ίδια την πραγματικότητα, όχι από τις δικές μου δραστηριότητες. Βέβαια ο Αριστοτέλης δεν έχει κανένα όρο ταυτόσημο με την εποπτεία αλλά η γνώση που επιτυγχάνεται επιθεωρώντας τι υπάρχει στην ψυχή μου μπορεί να καλείται εποπτική. Επομένως αυτή η συνειδητή μετάβαση από την πραγματικότητα στην άϋλη εικόνα της ψυχής, ίσως έχει συνοδούς, μορφές των qualia, ως υποκειμενικές συνειδητές εμπειρίες. Βέβαια σε μια τόσο εσωτερική μη μετρήσιμη διαδικασία, δεν θα μπορούσαμε να δηλώσουμε πως υπάρχει μια γραμμική ακολουθιακή διαδικασία σε αυτή την μετάβαση, ώστε να προσδιορίσουμε την ακριβή χρονική στιγμή εμφάνισης τους.

Ο Husserl λοιπόν, έχοντας, μικρές διαφορές από τον Αριστοτέλη, που δεν θα αναλύσουμε στο παρόν άρθρο, αναφέρεται σε αυτό που ονομάζει Wesensschau και που αποτελείται από τα εξής στάδια: Μια άμεσα δοσμένη υλική εικόνα, αντιλαμβανόμενη αισθητηριακά, η οποία μορφοποιείται μέσω της νόησης και που στην συνέχεια διαχωρίζονται οι μορφές από την ύλη, για να καταλήξει σε αυτό που ονομάζει ουσίες και που είναι αντικείμενο της εποπτείας. Το Wesensschau δηλώνει πολύ έντονα πως η μετάβαση στο νοητό μέρος της ψυχής γίνεται αισθητηριακά, και ουσιαστικά μέσω αισθητηριακής αντίληψης. Όλες οι υπόλοιπες διαδικασίες, έχουν ως σκοπό, να κρατήσουν πια τις βασικές ιδιότητες της υλικής εικόνας, οι οποίες θα συνθέσουν την άϋλη εκείνη εικόνα, που η εποπτική της συνειδητή θεώρηση, εδραιώνει την εικόνα ως βεβαιότητα ή όχι.

Σίγουρα, ο πρωταρχικός ορισμός των qualia από τον Lewis (1990) σχετικά με τους φαινομενικούς χαρακτήρες, δείχνει να ταιριάζει με το Wesensschau του Husserl, στα πρώτα στάδια τουλάχιστον αυτής της διαδικασίας που οδηγεί στην εποπτική θεώρηση ενός αντικειμένου.

2.4. Σύντομη σύνθεση

Έχοντας αναπτύξει λοιπόν διάφορα θεωρητικά σχήματα, σχετικά με την διασύνδεση της αποδεικτικής διαδικασίας και του θυμικού, καθώς και τις προσεγγίσεις πάνω στα qualia, θα συνθέσουμε, όσο πιο παραστατικά, την θέση αυτού του άρθρου, ώστε τελικά να δοθεί μια προσέγγιση στο αν υπάρχουν qualia κατά την ευκλείδεια γεωμετρική απόδειξη.

Έχοντας λοιπόν μπροστά μας, ένα γεωμετρικό πρόβλημα, αντιλαμβανόμαστε πως με βεβαιότητα, υπάρχει ένα σχήμα. Το σχήμα αυτό, δεν είναι τίποτα άλλο, από μια πρώτη υλική εικόνα, η οποία είναι συνειδητά αντιληπτή μέσω των αισθήσεων και συγκεκριμένα της όρασης. Ουσιαστικά, το ερέθισμα του σχήματος πυροδοτεί, διάφορες νοητικές διαδικασίες.

Πριν μπούμε σε αυτές, αναγνωρίζουμε σε αυτό το σημείο, τα θεωρητικά πλαίσια του Αριστοτέλη, όπως αυτά αναφέρονται από τους Αγγελή (2008), Hintikka (2003) αλλά και από τους Θωμαϊδης et al. (2006), το θεωρητικό Wesensschau του Husserl, αλλά και το πρώτο στάδιο των κρυστάλλινων εννοιών του Tall et al. (2012), σχετικά με την αντιληπτική αναγνώριση των φαινομένων, όπου τα αντικείμενα έχουν ταυτόχρονες ιδιότητες. Αυτά τα θεωρητικά πλαίσια μπορούν να συσχετιστούν με τον ορισμό του Lewis (1990) για τα qualia, που δηλώνει πως qualia είναι μια ιδιότητα, καθολική, που προκύπτει μέσω των αισθήσεων, και που όμως την αντιλαμβανόμαστε συνειδητά.

Στο πέρασμα μας από την υλική εικόνα στην άϋλη, εξελίσσονται νοητικές διαδικασίες, στην προσπάθεια κατανόησης των ιδιοτήτων, οι οποίες μπορούν να σχετίζονται είτε με γλωσσολογικές δομές, είτε με λεκτικές περιγραφές, διαδικασίες μη μετρήσιμες, πολύ υποκειμενικές, πολύ προσωπικές, κάτι που φαίνεται να είναι δηλωτικό των ιδιοτήτων που έχουν τα qualia κατά Dennett (1988). Βέβαια, εδώ το δεύτερο και τρίτο στάδιο του Tall et al. (2012), το δεύτερο στάδιο του Wesensschau, αλλά και πλέον η αισθητικότητα ως διαφορετική έννοια από τις αισθήσεις του Αγγελή (2008) , έρχονται να πλαισιώσουν την πορεία προς την ευκλείδεια γεωμετρική απόδειξη.

Έχοντας, λοιπόν, περάσει στην κατανόηση του σχήματος μέσα από διαδικασίες, όπως σχηματικά τις αναφέραμε, είμαστε ακριβώς στο σημείο των Kidron et al. (2014), των ισχυρισμών και συλλογισμών, που συνοδεύονται από το ερώτημα γιατί ένας ισχυρισμός είναι αληθινός. Εκεί έχουμε ενδεχομένως τον σχεδιασμό της αποδεικτικής εικόνας, η οποία όμως δομείται με περίπλοκες διαδικασίες, που ενδεχομένως μια από αυτές να είναι η AHA εμπειρία, η ξαφνική δηλαδή κατανόηση μιας πρότασης ή η ξαφνική μνήμη του Strawson (1994), που είναι δηλωτική των qualia.

3. ΚΡΙΤΙΚΗ ΣΥΖΗΤΗΣΗ

Στόχος του άρθρου, ήταν να συνδέσει την δόμηση της ευκλείδειας γεωμετρικής απόδειξης με την ύπαρξη των qualia σε αυτή. Σε μια προσωπική κριτική, αυτό που θα μπορούσε να αναφερθεί, είναι πως πρόκειται για μια άκρως θεωρητική προσέγγιση, αφού η ύπαρξη των qualia δεν είναι μετρήσιμη. Ένα άλλο σημείο συζήτησης σχετικά με τα qualia, είναι το κατά πόσο η απόδειξη της ύπαρξης τους, στην ευκλείδεια γεωμετρική απόδειξη, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί στην εκπαιδευτική διαδικασία. Μια πρωτογενής σκέψη, είναι πως θα μπορούσε ο καθηγητής να επιδιώκει, να προκαλέσει, μέσα από διαδικασίες, ενδεχομένως, ανακάλυψης, ένα θετικό συναίσθημα, όπως αυτό που προκαλείται από την AHA εμπειρία. Η γνώση, πως αυτή η υποκειμενική αλλά συνειδητή αίσθηση είναι qualia, ίσως άλλαζε την διδακτική πρακτική.

Το βέβαιο είναι ,πως η συγκεκριμένη θεώρηση είναι σε πολύ πρώιμο στάδιο, και χρειάζεται περισσότερες προσεγγίσεις, ενδεχομένως και την συνδρομή της γνωσιακής επιστήμης, ώστε τελικά να απαντηθεί το βασικό ερώτημα του άρθρου, αν υπάρχουν qualia κατά την διάρκεια ευκλείδειας γεωμετρικής απόδειξης.

4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ

Συμπερασματικά, επιχειρήθηκε μέσα από τα θεωρητικά πλαίσια των Tall et al. (2012), Kidron, Dreyfus (2014), Longo (2012), Liljedahl (2005), τις φιλοσοφικές θεωρήσεις του Αριστοτέλη και του Husserl, μέσω των Αγγελή (2008), Θωμαϊδη et al. (2006) και Hintikka (2003) και τους ρητούς ή πλαισιακούς ορισμούς των qualia μέσω των Dennett (1988), Tye (2013), Lewis (1990), να γίνει μια σύνδεση της ύπαρξης τους, κατά την διάρκεια της ευκλείδειας γεωμετρικής απόδειξης.
Ο διαχωρισμός των αισθήσεων ως αντιληπτικό μέσο, από την αισθητικότητα ή διαίσθηση, η εμπειρική, βιωματική, υποκειμενική αλλά απόλυτα συνειδητή ερμηνεία ιδιοτήτων του αισθητού αντικειμένου, όλες οι νοητικές διαδικασίες που διεκπεραιώνονται στο θυμικό, είναι μερικά από τα κομβικά σημεία που πρέπει να σημειώσει κανείς, ώστε να μπορέσει να οδηγηθεί στον συσχετισμό των qualia με την ευκλείδεια γεωμετρική απόδειξη, πάντοτε έχοντας ως σχεσιακό γνώμονα τους ορισμούς των qualia.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Αγγελής, Ν. (2008). Η Θεωρία της Γνώσης κατά τον Αριστοτέλη. Ανακτήθηκε από
http://www.antifono.gr/portal/κατηγορίες/φιλοσοφία-επιστημολογία/άρθρα/

Dennett, D. C. (1988). Quining qualia. Consciousness in modern science.

Hintikka, J. (2003). The notion of intuition in Husserl. Revue internationale de philosophie, 224(2),
57-79.

Θωμαϊδης Γ., Πετράκης Γ., Τουλουμής Κ., Σταφυλίδου Μ. (2006). Γλώσσα, Ιστορία και
Ευκλείδεια Γεωμετρία. Εκδόσεις: Πανεπιστημίου Μακεδονίας.

Kidron, Ivy, and Tommy Dreyfus. (2014). “Proof image.” Educational Studies in Mathematics 87.3:
297-321.

Lewis, C. I. (1990). Mind and the world-order: Outline of a theory of knowledge. Courier
Corporation.

Liljedahl, P. G. (2005). Mathematical discovery and affect: the effect of AHA! Experiences on
undergraduate mathematics students. International Journal of Mathematical Education in
Science and Technology, 36(2-3), 219-234.

Longo, G. (2012). Theorems as constructive visions. In Proof and Proving in Mathematics
Education (pp. 51-66). Springer Netherlands.

Strawson, G. (1994). Mental reality. Cambridge, MA: mit Press.

Tall, D., Yevdokimov, O., Koichu, B., Whiteley, W., Kondratieva, M., & Cheng, Y. H. (2012).
Cognitive development of proof. In Proof and proving in mathematics education (pp. 13-49). Springer Netherlands.

Tye, Michael, “Qualia”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2013 Edition), Edward N.
Zalta (ed.). Ανακτήθηκε από http://plato.stanford.edu/archives/fall2013/entries/qualia/.

  Posts

July 30th, 2015

Qualia και Ευκλείδεια Γεωμετρική Απόδειξη

Νικόλαος Πάτας Τμήμα Μαθηματικών, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Email: [email protected] Περίληψη Στο άρθρο γίνεται μια απόπειρα διασύνδεσης του όρου […]

December 2nd, 2014

Ιδιαίτερα Μαθήματα Μαθηματικών. Μια προσπάθεια σύνδεσης της διαδικαστικής με την εννοιολογική γνώση.

Το νέο εκπαιδευτικό πλαίσιο, σχετικά με το «Νέο Λύκειο», από το Υπουργείο Παιδείας, έδωσε μέσα από την εφαρμογή του, πολυδιάστατες […]

September 6th, 2014

Οι νίκες μας είναι αθόρυβες…

Πρόκειται για το άρθρο μιας συναδέρφου, που με σαφήνεια και απλότητα αφοπλιστική, αποδεικνύει πως η αγάπη για τον μαθητή, είναι […]

July 2nd, 2014

Η δυσκολία της κατανόησης της μαθηματικής απόδειξης

Τις τελευταίες δεκαετίες, πολυάριθμες έρευνες της Διδακτικής των Μαθηματικών, έχουν αναδείξει πως μόνο μια πολύ μικρή μειοψηφία μαθητών της δευτεροβάθμιας […]

May 29th, 2014

‘‘Αρχή παιδεύσεως ονομάτων επίσκεψις’’

Στην παρακάτω παράθεση, τίθεται ένα πολύ “ιδιαίτερο” ερώτημα από τους Μαθηματικούς, κυρίους Αποστόλη Παπανικολάου και Γιώργο Σούμπαση. Πρόκειται για αρχείο […]

May 2nd, 2014

Οι πρώτες αρχές της μελέτης της επίλυσης προβλήματος.

“Την πρώτη απόπειρα μελέτης της επίλυσης προβλημάτων επιχείρησε ο Αριστοτέλης στα Τοπικά ( Τοπικά 14. 101b 11-18 ). Εκεί, καθώς […]

April 11th, 2014

Οφέλη της επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων

“Η συστηματική διδασκαλία των μαθητών με την μέθοδο της επίλυσης προβλήματος συμβάλλει ώστε: Να ασκηθούν στην επεξεργασία των πληροφοριών. Να […]